我们知道根据微积分基本定理，积分第一中值定理和推广的第一中值定理就是 中值 定理和 中值定理：只不过函数的形式为：

(1)

为了让大家更好的理解积分第一中值定理和积分第二中值定理，小的总结了一些简单的自我理解：

(2)

证明：因为 在 连续，故 存在最小值 ，最大值 .有：

由积分保不等式性的性质得到：

(3)

由闭区间上连续函数的介质性定理得， ,Have:

其次我们回到数学分析的推广积分第一中值定理： 在 上连续， 在 连续不变号，则 ,Have：

证明：(1)若 ，又因为 在 连续，故 存在最小值 ，最大值 .有：

同时乘以 及积分,Have:

由闭区间上连续函数的介质性定理得， ,Have:

积分第一中值定理的证明：因为 在 上连续，由微积分基本定理知，存在原函数

故在 ,由 中值定理得，存在一个 ,render:

推广积分第一中值定理的证明： ：
(3)

由微积分基本定理和 , ，Have:

Have:

希望能够让大家更好的理解积分中值定理!